Question

【題目】如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=2，∠ABC=60°，平面ACEF⊥平面ABCD，四邊形ACEF是菱形，∠CAF=60°．
（1）求證：BC⊥平面ACEF；
（2）求平面ABF與平面ADF所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：在梯形ABCD中，AB∥CD，

AD=DC=CB=2，∠ABC=60°，∴∠ADC=DCB=120°，∠DCA=∠DAC=30°，

∴∠ACB=90°，即BC⊥AC，

又∵平面ACEF⊥平面ABCD，平面ACEF∩平面ABCD=AC，

∴BC⊥平面ACEF

（2）解：取G為EF中點(diǎn)．連CG

∵四邊形ACEF是菱形，∠CAF=60°，∴CG⊥EF即CG⊥AC

與（1）同理可知CG平面ABCD

如圖所示，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

則有 ，

， ，

設(shè) 是平面ABF的一個(gè)法向量，

則 ，即 ，取 ．

設(shè) 是平面ADF的一個(gè)法向量，則 ，即 ，取 ．

設(shè)平面ABF與平面ADF所成銳二面角為θ，則 ，

即平面ABF與平面ADF所成銳二面角的余弦值為 ．

【解析】（1）證明 BC⊥AC，由平面ACEF⊥平面ABCD，平面ACEF∩平面ABCD=AC，得BC⊥平面ACEF （2）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出法向量即可．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解直線與平面垂直的判定(一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想)．