Question

【題目】設不等式組所表示的平面區域為Dn，記Dn內的格點（格點即橫坐標和縱坐標均為整數的點）的個數為f(n)(n∈N*).

（1）求f(1)、f(2)的值及f(n)的表達式；

（2）設bn=2nf(n)，Sn為{bn}的前n項和，求Sn；

（3）記,若對于一切正整數n，總有Tn≤m成立，求實數m的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）f(1)=3，f(2)=6，f(n)=3n（2）Sn=6+(3n－3)2n+1（3）

【解析】

試題分析：（1）由，可求得x=1，或x=2，則Dn內的整點在直線x=1和x=2上，聯立可求得整點縱坐標，進而可得整點個數；（2）利用錯位相減法求數列的前n項的和；（3）先利用上面的結論求出的表達式，再對與的作商比較，從而求出中的最大值，即可找到滿足≤m時對應的實數m的取值范圍

試題解析：（1）f(1)=3…

f(2)=6……

當x=1時，y=2n，可取格點2n個；當x=2時,y=n，可取格點n個

∴f(n)=3n

（2）由題意知:bn=3n·2n

Sn=3·21+6·22+9·23+…+3(n－1)·2n－1+3n·2n

∴2Sn=3·22+6·23+…+3(n－1)·2n+3n·2n+1

∴－Sn=3·21+3·22+3·23+…3·2n－3n·2n+1

=3（2+22+…+2n）－3n·2n+1

=3(2n+1－2)－3nn+1（7分）

∴－Sn=(3－3n)2n+1－6

Sn=6+(3n－3)2n+1

（3）Tn=………

∵…

當n=1時>1

當n=2時=1

當n≥3時<1

∴T1<T2=T3>T4>…>Tn

故Tn的最大值是T2=T3=

∴m≥