Question

【題目】如圖1是四棱錐的直觀圖，其正(主)視圖和側(左)視圖均為直角三角形，俯視圖外框為矩形，相關數據如圖2所示.

(1)設中點為，在直線上找一點，使得平面，并說明理由；

(2)若二面角的平面角的余弦值為，求四棱錐的外接球的表面積.

Answer 1

【答案】(1) 見解析;(2) .

【解析】試題分析：(1)利用中位線定理構造平行四邊形，得到;(2) 由二面角的平面角的余弦值為，得到，明確外接球的直徑即為PB，易得四棱錐的外接球的表面積.

試題解析：

(1)當是中點時， 平面，

證明如下：取中點，連接、、，

在中， 、分別是、的中點，

∴是的中位線，

∴且，又是中點， ，

∴且，

∴四邊形是平行四邊形，

∴.

又∵平面， 平面，

∴平面.

(2)由三視圖可得平面，

在底面中，過作交于點，連接，

∵平面， 平面，∴，

又， 平面，

平面，∵，∴平面，

又平面，∴，

∴是二面角的平面角，

在底面矩形， ， ，∴， ，

在中，又，

∴，∴.

由直觀圖易知四棱錐的外接球的直徑即為，

∴.

故四棱錐的外接球的表面積為.