Question

【題目】已知函數f（x）=ax﹣lnx，F（x）=ex+ax，其中x＞0，a＜0．
（1）若f（x）和F（x）在區間（0，ln3）上具有相同的單調性，求實數a的取值范圍；
（2）若a∈（﹣∞，﹣ ]，且函數g（x）=xeax﹣1﹣2ax+f（x）的最小值為M，求M的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：求導，f′（x）=a﹣ = ，F′（x）=ex+a，x＞0，

a＜0，f′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，即f（x）在（0，+∞）上單調遞減，

當﹣1a＜0時，F′（x）＞0，即F（x）在（0，+∞）上單調遞增，不合題意

當a＜﹣1時，由F′（x）＞0，得x＞ln（﹣a），由F′（x）＜0，得0＜x＜ln（﹣a），

∴F（x）的單調減區間為（0，ln（﹣a）），單調增區間為（ln（﹣a），+∞）

∵f（x）和F（x）在區間（0，ln3）上具有相同的單調性，

∴ln（﹣a）ln3，解得：a﹣3，

綜上，a的取值范圍是（﹣∞，﹣3]；

（2）解：g′（x）=eax﹣1+axeax﹣1﹣a﹣ =（ax+1）（eax﹣1﹣ ），

由eax﹣1﹣ =0，解得：a= ，設p（x）= ，

則p′（x）= ，

當x＞e2時，p′（x）＞0，當0＜x＜e2，p′（x）＜0，

從而p（x）在（0，e2）上單調遞減，在（e2，+∞）上單調遞增，

p（x）min=p（e2）=﹣ ，

當a≤﹣ ，a≤ ，即eax﹣1﹣ ≤0，

在（0，﹣ ）上，ax+1＞0，g′（x）≤0，g（x）單調遞增，

在（﹣ ，+∞）上，ax+1＜0，g′（x）≥0，g（x）單調遞增，

∴g（x）min=g（﹣ ）=M，

設t=﹣ ，∈（0，e2]，M=h（t）= ﹣lnt+1，（0＜t≤e2），

h′（t）= ﹣ ≤0，h（x）在，∈（0，e2]上單調遞減，

∴h（t）≥h（e2）=0，

∴M的最小值為0．

【解析】（1）先判斷f（x）在（0，+∞）上單調遞減，分別討論﹣1≤a＜0及a＜﹣1，結合F（x）的單調性即可求得區間（0，ln3）上具有相同的單調性，求得a的取值范圍；（2）利用導數研究函數的單調性可得g（x）min=g（﹣ ）=M，構造輔助函數求導，根據函數的單調性即可求得．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減，以及對函數的最大(小)值與導數的理解，了解求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．