Question

（本小題滿分12分）已知定義在正實數集上的函數，，其中．設兩曲線，有公共點，且在該點處的切線相同．
（1）用表示，并求的最大值；
（2）求證：（）．

Answer 1

（1）設與在公共點處的切線相同．
，，由題意，．
即由
得：，或（舍去）．        
即有．
令，則．于是
當，即時，；
當，即時，．
故在為增函數，在為減函數，
于是在的最大值為．（2）
設，
則．
故在為減函數，在為增函數，
于是函數在上的最小值是．
故當時，有，即當時，
19.經檢驗,以上所得橢圓的四個頂點無法取到,
故交點軌跡E的方程為
（2）設，則由知，.
將代入得，
即，
若與橢圓相切,則，即;
同理若與橢圓相切,則.
由與與軌跡E都只有一個交點包含以下四種情況:
[1]直線與都與橢圓相切,即,且,消去得，即，
從而，即;
[2]直線過點,而與橢圓相切,此時,解得;
[3]直線過點,而與橢圓相切,此時,解得;
[4] 直線過點,而直線過點,此時
綜上所述,h的值為

略