Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若函數(shù)在R上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；

（2）求所有的實數(shù)a，使得對任意時，函數(shù)的圖象恒在函數(shù)圖象的下方；

（3）若存在，使得關(guān)于x的方程有三個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)t的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）將函數(shù)寫成分段函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)分段函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù)，即可求得參數(shù)的范圍；

（2）根據(jù)題意，分離參數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化求解函數(shù)在區(qū)間上最值的問題，即可求得；

（3）將方程根的個數(shù)的問題，轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像交點個數(shù)的問題，求出函數(shù)的值域，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可求得.

（1）∵函數(shù).

由于在R上是連續(xù)的增函數(shù)，

所以只要當(dāng)時為增函數(shù)且當(dāng)時也為增函數(shù)；

即，解得，則a的范圍為.

（2）由題意得對任意的實數(shù)，恒成立，

即，當(dāng)恒成立，

即，

∴，

∴，

故且在上恒成立，

即在時，只要的最大值且的最小值即可，

而當(dāng)時，為增函數(shù)，；

當(dāng)時，為增函數(shù)，，

∴.

所以滿足條件的所有.

（3）由題意得，關(guān)于x的方程有三個不相等的實數(shù)根

有三個不相等的實數(shù)根；

即與有三個不同的交點；

①當(dāng)時，由（1）知，在R上是增函數(shù)，

則關(guān)于x的方程不可能有三個不等的實數(shù)根；

②當(dāng)時，由.

當(dāng)時，∵，

∴對稱軸，

則在為增函數(shù)；

此時的值域為，

當(dāng)時，對稱軸，

∵，∴，

∴對稱軸，

則在為增函數(shù)，此時的值域為，

在為減函數(shù)，此時的值域為；

綜上所述，若存在，使與有三個不同的交點，

則，

即存在，使得即可，

令，

只要使即可，而在上是增函數(shù)，

.

故可得.