Question

【題目】如圖，在四棱錐中，平面，，，，點是與的交點.

（1）求二面角的余弦值；

（2）若點在線段上且平面，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）在中,由可得,由余弦定理可得,則,可得,以直線為軸,軸,軸建立空間直角坐標系,分別求得平面和平面的法向量,進而利用向量的數量積求解即可；

（2）先求得平面的法向量,由點在線段上得,解得點的坐標,即可得到,再由求得,代回,進而利用向量的數量積求解即可.

（1）在中,

,

因為,所以,

在中,,所以是等邊三角形,則,

所以,即,

因為平面,

所以分別以直線為軸,軸,軸如圖建立空間直角坐標系,

則,,,,,,

則,,,,

設平面的法向量為,則,即,

令,則,,則

設平面的法向量為,則,即,

令,則,,則

則,

所以二面角的余弦值為

（2）設平面的法向量為,

因為且,

則,即,

令,則,,則,

設且,

則,即,則,

所以,

因為,即,則,

所以,

因為平面的法向量,則,

所以直線與平面所成角的正弦值為