Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知曲線的參數方程：（為參數），以坐標原點為極點，以軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.

（1）求曲線的普通方程；

（2）過曲線上一點作直線與曲線交于兩點，中點為，，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根據曲線的參數方程，得出，則，而，兩式相除整理得，再代入，即參數方程和普通方程之間進行轉換，消去參數，即可得出曲線的普通方程；

（2）設圓心到直線的距離為，由于，利用直線與圓的弦長公式求出，由，將求的最小值轉化為最小，進而轉化為圓心到直線的距離，利用點到直線的距離公式求出，即可求出的最小值．

解：（1）已知曲線的參數方程：（為參數），

由，得，

即，又，

兩式相除得：，整理得，

代入，得，

整理得，即為曲線的普通方程.

（2）設圓心到直線的距離為，

則，∴.

由于，

當最小時，最小，因為的最小值為圓心到直線的距離，

所以，

所以.