Question

【題目】已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿足： .

（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）設(shè)過點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），證明：直線恒過定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線過定點(diǎn) ，證明見解析.

【解析】試題分析：（1）動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)， 的距離之和為，且，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為橢圓，從而可求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）直線的方程為： ，由　得，，根據(jù)韋達(dá)定理可得

，直線的方程為，即可證明其過定點(diǎn).

試題解析：（1）由已知，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)， 的距離之和為，

且，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為橢圓，而， ，所以，

所以，動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程： .

（2）設(shè)， ，則，由已知得直線的斜率存在，設(shè)斜率為，則直線的方程為：

由　得，

所以， ，

直線的方程為： ，所以，

令，則，

所以直線與軸交于定點(diǎn).