Question

已知橢圓（a＞b＞0）的離心率，過點A（0，-b）和B（a，0）的直線與原點的距離為．

（1）求橢圓的方程．
（2）已知定點E（-1，0），若直線y＝kx＋2（k≠0）與橢圓交于C、D兩點．問：是否存在k的值，使以CD為直徑的圓過E點?請說明理由．

Answer 1

（1）
（2）存在，使得以CD為直徑的圓過點E

（1）直線AB方程為：bx-ay-ab＝0．
依題意　解得　
∴　橢圓方程為　．　　
（2）假若存在這樣的k值，由得．
　∴   ．　　　　　　　　　　①
　設，、，，則　　　　　　　　　②　　
而．
要使以CD為直徑的圓過點E（-1，0），當且僅當CE⊥DE時，
則，即．
　　∴　．　　　　　　　③
　　將②式代入③整理解得．經驗證，，使①成立．
　　綜上可知，存在，使得以CD為直徑的圓過點E．