Question

已知三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，，N為AB上一點，AB=4AN，M、S分別為PB，BC的中點．以A為原點，射線AB，AC，AP分別為x，y，z軸正向建立如圖空間直角坐標系．
（Ⅰ）證明：CM⊥SN；
（Ⅱ）求SN與平面CMN所成角的大小．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）因為，所以CM⊥SN．
（Ⅱ）由題意可得：，再求出平面CMN的一個法向量利用向量的有關運算，求出兩個向量的夾角，進而轉化為線面角．
解答：解：建立空間直角坐標系如圖所示：則P（0，0，1），C（0，1，0），B（2，0，0），M（1，0，），N（，0，0），S（1，，0）．
（Ⅰ）證明：因為，
所以，
所以CM⊥SN．
（Ⅱ）由題意可得：，
設=（x，y，z）為平面CMN的一個法向量，，，
所以，，
所以可得．
因為，
所以SN與平面CMN所成角為45°
點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握幾何體的結構特征，以便建立空間直角坐標系利用空間向量的有關知識解決空間中線面、線線問題，以及空間角等問題．