Question

【題目】如圖所示，將一塊直角三角形板置于平面直角坐標系中，已知，點是三角板內一點，現因三角板中，陰影部分受到損壞，要把損壞部分鋸掉，可用經過點的任一直線將三角板鋸成，設直線的斜率為.

（1）用表示出直線的方程，并求出點的坐標；

（2）求出的取值范圍及其所對應的傾斜角的范圍；

（3）求面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）MN方程為：，，；（2），；（3）

【解析】

（1）先利用點斜式得出直線的方程，再得直線OA方程為：y＝x ，直線AB方程為：x＝1，分別與直線MN的方程聯立即可得出；

（2）

（3）利用三角形的面積計算公式可得S△AMN，通過換元利用導數即可得出其單調性最值，進而得出區間D；

（1）依題意，得MN方程為：，即，

∵AB⊥OB，|AB|＝|OB|＝1，∴直線OA方程為：y＝x ，直線AB方程為：x＝1，

聯立 ，得．

聯立，得.

（2）由（1）知：，∴k＞1或k≤，且，得k≥，∴．

∵直線的傾斜角，且，∴.

（3）在中，由（2）知：

S△AMN＝＝．

設，設．∵，

∴f（t）在是單調遞增．∴當時，，即當1﹣k＝時即k＝時，（S△）max＝

當時，，即當1﹣k＝時即k＝時，（S△）min＝，

面積的取值范圍.