Question

【題目】如圖，在三棱柱中，側(cè)面底面，，，，，分別為，的中點(diǎn).

（1）求證：直線平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）取的中點(diǎn)，根據(jù)線線平行證線面平行，再根據(jù)線面平行得面面平行，最后根據(jù)面面平行得結(jié)果，（2）先根據(jù)條件得，，兩兩垂直，再建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)各點(diǎn)坐標(biāo)，利用方程組解得各面法向量，再根據(jù)向量數(shù)量積得法向量夾角，最后根據(jù)二面角與法向量夾角關(guān)系得結(jié)果.

（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，，由于，分別為，的中點(diǎn)，所以.又平面，平面，所以平面.又且，

所以四邊形是平行四邊形.

則，又平面，平面，

所以平面.

所以平面平面.又平面，

所以直線平面

（2）解：令，

由于為中點(diǎn)，則，又側(cè)面底面，交線為，平面，則平面，連接，可知，，兩兩垂直.以為原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，

所以，，

令平面的法向量為，

由則令，則.

令平面的法向量為，

由則令，則

由，故二面角的余弦值為.