Question

【題目】2019年4月26日，鐵人中學(xué)舉行了盛大的成人禮.儀式在《相信我們會(huì)創(chuàng)造奇跡》的歌聲中拉開(kāi)序幕，莊嚴(yán)而神圣的儀式感動(dòng)了無(wú)數(shù)家長(zhǎng)，4月27日，鐵人中學(xué)官方微信發(fā)布了整個(gè)儀式精彩過(guò)程，幾十年眾志成城，數(shù)十載砥礪奮進(jìn)，鐵人中學(xué)正在創(chuàng)造著一個(gè)又一個(gè)奇跡．官方微信發(fā)布后，短短幾個(gè)小時(shí)點(diǎn)擊量就突破了萬(wàn)人，收到了非常多的精彩留言.學(xué)校從眾多留言者中抽取了100人參加“學(xué)校滿意度調(diào)查”，其留言者年齡集中在之間，根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果，做出頻率分布直方圖如下：

（Ⅰ）求這100位留言者年齡的樣本平均數(shù)和樣本方差（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；

（Ⅱ）由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，留言者年齡服從正態(tài)分布，其中近似為樣本均數(shù)，近似為樣本方差．

(ⅰ)利用該正態(tài)分布，求；

（ii）學(xué)校從年齡在和的留言者中，按照分層抽樣的方法，抽出了7人參加“精彩留言”表彰大會(huì)，現(xiàn)要從中選出3人作為代表發(fā)言，設(shè)這3位發(fā)言者的年齡落在區(qū)間的人數(shù)是，求變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：，若，則，.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）60，180；（Ⅱ）(ⅰ)；（ii）.

【解析】

（Ⅰ）利用頻率分布圖中的平均數(shù)公式和方差公式求這100位留言者年齡的樣本平均數(shù)和樣本方差；（Ⅱ）(ⅰ)利用正態(tài)分布的圖像和性質(zhì)求；（ii）根據(jù)分層抽樣的原理，可知這7人中年齡在內(nèi)有3人，在內(nèi)有4人，故可能的取值為0，1，2，3，再求概率，寫(xiě)分布列求期望得解.

(Ⅰ)這100位留言者年齡的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為

，

，

(Ⅱ)（i）由（Ⅰ）知，，

從而；

（ii）根據(jù)分層抽樣的原理，可知這7人中年齡在內(nèi)有3人，在內(nèi)有4人，故可能的取值為0，1，2，3

，，

，.

所以的分布列為

Y	0	1	2	3
P

所以Y的數(shù)學(xué)期望為.