Question

【題目】過拋物線的焦點F且傾斜角為的直線交拋物線于AB兩點，交其準線于點C，且|AF|=|FC|，|BC|=2.

（1）求拋物線C的方程；

（2）直線l交拋物線C于DE兩點，且這兩點位于x軸兩側，與x軸交于點M，若·求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）過點、作拋物線準線的垂線,垂足為、,設準線與軸交于點,由已知可得,可得,由拋物線的定義可得,進而利用中位線的性質可求得,即可求解；

（2）聯立可得,由韋達定理可得,,代入中可得,則,由,再利用均值不等式求得最值即可.

（1）設過點、的拋物線準線的垂線,垂足為、,設準線與軸交于點,

因為,,

所以,

所以,

又點為的中點,

所以,

所以,

所以拋物線的方程為:

（2）設,,,

聯立可得,

所以,,

所以,

所以或（舍去）,

所以,即,所以,

所以,

當且僅當,即時等號成立,

所以的最小值為.