Question

【題目】已知平行四邊形中，，為的中點，且△是等邊三角形，沿把△折起至的位置，使得．

（1）是線段的中點，求證：平面；

（2）求證：；

（3）求點到平面的距離．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）．

【解析】

試題分析：（1）取的中點，連結、，可證，且，結合條件可得四邊形為平行四邊形，所以，由線面平行的判定定理即可得到平面；（2）由折疊前圖形可得,在四棱錐中，即有，由余弦定理和勾股定理可得，從而證得平面，由線面垂直的性質可證得結論；（3）設點到平面的距離為，進行定體積變換即可求得點到平面的距離．

試題解析：證明：（1）取的中點，連結、，

因為為的中點，故，且，

又，且

所以四邊形為平行四邊形，，

又平面，平面，故平面．

（2）折疊前，，，即，

在四棱錐中，即有，

在△中，，，由余弦定理得，

又，，由勾股定理的逆定理，得，，

又，從而平面，

平面，得．

（3）由（2）知，平面，

設點到平面的距離為，則由，

得，，

解得．