Question

【題目】在平面直角坐標系中，點，直線與動直線的交點為，線段的中垂線與動直線的交點為．

（1）求動點的軌跡的方程；

（2）過動點作曲線的兩條切線，切點分別為， ，求證： 的大小為定值．

Answer 1

【答案】（1）曲線的方程為．（2）詳見解析

【解析】試題分析：根據題意動點到定點距離等于到定直線距離，符合拋物線定義，寫出拋物線方程，第二步設出直線方程，聯立方程組，根據根與系數關系可得，可知為定值.

試題解析：（1）因為直線與垂直，所以為點到直線的距離．

連結，因為為線段的中垂線與直線的交點，所以．

所以點的軌跡是拋物線．

焦點為，準線為．

所以曲線的方程為．

（2）由題意，過點的切線斜率存在，設切線方程為，

聯立 得，

所以，即（*），

因為，所以方程（*）存在兩個不等實根，設為，

因為，所以，為定值．