Question

【題目】在四棱錐P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面是邊長(zhǎng)是1的正方形，側(cè)棱PA與底面成45°的角，M，N，分別是AB，PC的中點(diǎn)；

（1）求證：MN∥平面PAD；
（2）求四棱錐P﹣ABCD的體積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：設(shè)PD的中點(diǎn)為E，連NE，AE

根據(jù)三角形的中位線可知NE∥CD，且NE= CD，

AM∥CD，且AM= CD，

∴NE∥AM，且NE=AM

∴MN∥AE，

AE平面PAD，MN平面PAD，

∴MN∥平面PAD

（2）解：四棱錐P﹣ABCD的底面積為1，

因?yàn)镻D⊥平面ABCD，所以四棱錐P﹣ABCD的高為1，

所以四棱錐P﹣ABCD的體積為：

【解析】（1）欲證MN∥平面PAD，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證MN與平面PAD內(nèi)一直線平行，根據(jù)三角形的中位線可知PC∥EO，滿足定理?xiàng)l件；（2）根據(jù)四棱錐P﹣ABCD的底面積為1，高為PD，即可求出四棱錐P﹣ABCD的體積．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解直線與平面平行的判定(平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡(jiǎn)記為：線線平行，則線面平行)．