Question

【題目】已知函數．

（1）若對任意恒成立，求實數的取值范圍．

（2）設函數在區間上有兩個極值點．

（i）求實數的取值范圍；

（ⅱ）求證：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（i），（ⅱ）證明見解析.

【解析】

（1）由題，得對任意上恒成立，即對任意上恒成立，分，，三種情況考慮，即可得到本題答案；

（2）（i）函數在區間上有兩個極值點，等價于的方程在上有兩個不相等的實數根，通過考慮在的取值范圍，即可得到本題答案；

（ⅱ）由題，可證得，又由（i）得，綜上，即可得到本題答案.

（1）據題意，得對任意上恒成立，

∴對任意上恒成立.

令，則.

①當時，，在上為單調遞增函數.

又∵，

∴當時，，不合題意；

②當時，若，則，在上為單調遞增函數.

又∵，

∴當時，，不合題意；

③當時，若，則，在上為單調遞減函數.

又，

∴當時，，符合題意.

綜上，所求實數的取值范圍是．

（2）令，，∴.

令．

分析知，關于的方程在上有兩個不相等的實數根．

（i）引入，則.

分析知，函數在上單調遞增，在上單調遞減，

且，

∴，

即所求實數的取值范圍是.

（ⅱ）∵，，

∴．

不妨設，則，

∴

．

令，則，

∴當時，，

∴在上為單調遞增函數．

∴，即．

∴．

∴，

∴，

∴．

又由（i），得，∴

∴．