Question

【題目】已知定義在上的函數滿足：對任意的實數都成立，當且僅當時取等號，則稱函數是上的函數，已知函數具有性質：（,）對任意的實數（）都成立，當且僅當時取等號.

（1）試判斷函數（且）是否是上的函數，說明理由；

（2）求證：是上的函數，并求的最大值（其中、、是△三個內角）；

（3）若定義域為，

① 是奇函數，證明：不是上的函數；

② 最小正周期為，證明：不是上的函數.

Answer 1

【答案】（1），是S函數；，不是S函數；（2）見解析，最大值；（3）見解析.

【解析】

(1)利用S函數的定義證明當0＜a＜1時，不是上的函數. 當a大于1時，不是上的函數.（2）利用S函數的定義證明是上的函數，并利用S函數的性質求的最大值.(3)利用舉反例證明.

任取,

當

同理可證，當0＜a＜1時，不是上的函數.

(2),

,

,

所以是上的函數.

由S函數的性質有

所以

（3）用舉反例證明，

令f(x)=sinx,

所以f(x)=sinx是R上的周期為π的奇函數，

取

所以

而

即在R上，f(x)=sinx不是S函數，故原命題得證.