Question

【題目】如圖，在四棱錐中，平面，底面是平行四邊形，為的兩個三等分點.

（1）求證平面；

（2）若平面平面，求證：.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

（1）連結BD，AC相交于O，證明BE∥OF，即可證明BE∥平面ACF；（2）過A作AH⊥PC于H，利用面面垂直的性質證明AH⊥平面PCD，從而證明AH⊥CD，然后利用線面垂直的性質證明PC⊥CD．

（Ⅰ）連接BD、AC，兩線交于O，

∴O是BD的中點（平行四邊形對角線互相平分），

∵F是DE的中點（由三等分點得到），

∴OF是△DEB的中位線，∴BE∥OF，

∵OF面ACF，BE面ACF，

∴BE平行平面ACF．

（Ⅱ）過A作AH⊥PC于H，∵平面PAC⊥平面PCD，

∴AH⊥平面PCD，∵CD平面PCD，∴AH⊥CD，

∵PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，

∴PA⊥CD．又∵PA∩AH=A，∴CD⊥平面PAC，

∵PC平面PAC，

∴PC⊥CD．