Question

【題目】設直線及直線外一點.

（1）寫出點到直線的距離公式；

（2）利用向量求證點到直線的距離公式.

Answer 1

【答案】詳情見解析

【解析】試題分析：（1）寫出平面直角坐標系中，點到直線的距離公式即可；

（2）證明公式時應討論B=0或A=0以及A≠0，且B≠0時，點到直線l的距離公式是什么，分別求出即可．

試題解析：

(1)平面直角坐標系中,點P(x0,y0)到直線Ax+By+C=0的距離為

；

(2)證明：設PQ垂直直線l于Q，

當B=0時,直線l為：x=CA,所以，滿足公式；

當A=0時,直線l為：y=CB,所以，滿足公式；

當A≠0，且B≠0時，直線l與x軸、y軸都相交，

過點P作x軸的平行線,交l與點R(x1,y0),作y軸的平行線交l于點S(x0,y2)，

如圖所示：

把點R的坐標代入l的方程,求出x1=By0+CA，

把點S的坐標代入l的方程,求出y2=Ax0+CB，

所以|PR|=|x0x1|=|Ax0+By0+CA|，

|PS|=|y0y2|=|Ax0+By0+CB|，

|RS|= ；

由三角形的面積公式，得d|RS|=|PR||PS|，

所以d=|PQ|= ；

綜上,點P(x0,y0)到直線Ax+By+C=0的距離為

.