Question

【題目】已知函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱. （為自然對數(shù)的底數(shù)）

（1）若的圖象在點處的切線經(jīng)過點，求的值；

（2）若不等式恒成立，求正整數(shù)的最小值.

Answer 1

【答案】（1）e；（2）2.

【解析】

（1）根據(jù)反函數(shù)的性質(zhì)，得出，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出曲線在點處的切線為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)性，即可得出的值；

（2）設(shè)，求導(dǎo)，求出的單調(diào)性，從而得出最大值為，結(jié)合恒成立的性質(zhì)，得出正整數(shù)的最小值.

（1）根據(jù)題意，與的圖象關(guān)于直線對稱，

所以函數(shù)的圖象與互為反函數(shù)，則,，

設(shè)點，，又，

當(dāng)時，，

曲線在點處的切線為，

即，代入點，

得，即，

構(gòu)造函數(shù)，

當(dāng)時，，

當(dāng)時，，

且，當(dāng)時，單調(diào)遞增，

而， 故存在唯一的實數(shù)根.

（2）由于不等式恒成立，

可設(shè)，

所以，

令，得.

所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，

因此函數(shù)在是增函數(shù)，在是減函數(shù).

故函數(shù)的最大值為 .

令，

因為， ，

又因為在是減函數(shù).

所以當(dāng)時，.

所以正整數(shù)的最小值為2.