Question

【題目】已知常數a≠0，數列的前n項和為，且

（1）求證：數列為等差數列；

（2）若且數列是單調遞增數列，求實數a的取值范圍；

（3）若數列滿足: 對于任意給定的正整數k，是否存在p，，使若存在，求p，q的值（只要寫出一組即可）；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）存在或，

【解析】

（1）由，得，，代入整理化簡，即可證明結論；

（2）由（1）得，結合，可得

，對為奇數和偶數分類討論，結合數列的單調性及恒成立與最值的相互轉換，可求的取值范圍；

（3）由（1）得，假設滿足，代入整理可得，即可得結論.

（1），，

，

，

數列是以為首項，公差為的等差數列；

（2）由（1）得，

，

，

當為奇數時，，

令，

，

，且，

當為偶數時，，

令，

，

，且，

綜上可得，實數的取值范圍是；

（3）當時，由（1）得，又，

設對于任意給定的正整數k，都存在p，，使，

，，

，

令或，

任意給定的正整數k，存在

或，使得成立.