Question

【題目】某貧困地區幾個丘陵的外圍有兩條相互垂直的直線型公路，，以及鐵路線上的一條應開鑿的直線穿山隧道，為進一步改善山區的交通現狀，計劃修建一條連接兩條公路，和山區邊界的直線型公路，以，所在的直線分別為軸，軸，建立平面直角坐標系，如圖所示，山區邊界曲線為：，設公路與曲線相切于點.

（1）設公路交軸，軸分別為，兩點，若公路的斜率為-1，求的長；

（2）在（1）條件下，測得四邊形中，，，千米，千米，求應開鑿的隧道的長度.

Answer 1

【答案】（1）（千米）；（2）（千米）

【解析】

（1）設點的坐標為，求得導數后由直線的斜率為，代入可求得切點的橫坐標，代入即可求得切點坐標，進而表示出直線的方程，即可求得的長；

（2）在中結合條件并由余弦定理可求得，同時由正弦定理可求得，進而由可求得，在中由勾股定理可得的長.

（1）不妨設點的坐標為，曲線為：，

則，

故，解得，

故，

所以直線方程為，

所以（千米）.

（2）在中，，，，

所以由余弦定理可得，

代入可得，

根據正弦定理，

∴，

∴，即，

又，

所以.

在中，，，

由勾股定理可得，

即，

解得（千米）.