Question

【題目】如圖，已知矩形 所在平面與等腰直角三角形 所在平面互相垂直， ， ， 為線段 的中點．
（Ⅰ）證明： ；
（Ⅱ）求 與平面 所成的角的余弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） 因為 ，所以 ，故 ．因為 ，所以 ，故 ．
因為 ， 為 的中點，所以 ．
所以 ．
（Ⅱ）如圖，將幾何體 補成三棱柱 ，

設 的中點為 ，連結 ．
因為 ，所以 ．
因此 為 與平面 所成的角．
不妨設 ，則 ，因此 ， ， ，故 ，
所以 與平面 所成的角的余弦值為 ．
【解析】（Ⅰ）由已知推導出AB⊥EC，EC⊥BM，AE⊥BM，由此能證明BM⊥平面AEC．
（Ⅱ）將幾何體ABCDE補成三棱柱AFD-BEC，設EF的中點為G，連結MG，GC，推導出∠MCG為MC與平面DEC所成的角，由此能求出MC與平面DEC所成的角的余弦值．
【考點精析】掌握直線與平面垂直的判定是解答本題的根本，需要知道一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想．