Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，,, 平面，Q是AD的中點，M是棱PC上的點，，，.

(1)求證：平面；

(2)若平面QMB與平面PDC所成的銳二面角的大小為，求的長.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)見解析;(Ⅱ) .

【解析】分析：（Ⅰ）先證明四邊形為平行四邊形，由得 ，由等腰三角形的性質可得，由面面垂直的性質可得平面，所以 ，⊥平面，由面面垂直的判定定理可得平面⊥平面；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知平面，以為原點,分別以為軸建立空間直角坐標系，求得平面法向量為，平面的法向量為，利用空間向量夾角余弦公式列方程可得，從而結果.

詳解：（Ⅰ）∵，為的中點, ,∴ ，∴四邊形為平行四邊形，∵∴ ．∵，∴，又∵平面⊥平面,平面∩平面=， ∴平面．∴ ，又∵，∴⊥平面．∵平面，

∴平面⊥平面

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知平面． 如圖，以為原點,分別以為軸建立空間直角坐標系．則由

又

∴平面法向量為由題意求

平面的法向量為

∵平面與所成的銳二面角的大小的為，

∴，

∴∴ .