Question

【題目】已知函數f（x）=ex+e﹣x ， 其中e是自然對數的底數．
（1）證明：f（x）是R上的偶函數；
（2）若關于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，求實數m的取值范圍；
（3）已知正數a滿足：存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立，試比較ea﹣1與ae﹣1的大小，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵f（x）=ex+e﹣x，

∴f（﹣x）=e﹣x+ex=f（x），即函數：f（x）是R上的偶函數

（2）解：若關于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，

即m（ex+e﹣x﹣1）≤e﹣x﹣1，

∵x＞0，

∴ex+e﹣x﹣1＞0，

即m≤ 在（0，+∞）上恒成立，

設t=ex，（t＞1），則m≤ 在（1，+∞）上恒成立，

∵ =﹣ =﹣ ，當且僅當t=2時等號成立，

∴m

（3）解：令g（x）=ex+e﹣x﹣a（﹣x3+3x），

則g′（x）=ex﹣e﹣x+3a（x2﹣1），

當x＞1，g′（x）＞0，即函數g（x）在[1，+∞）上單調遞增，

故此時g（x）的最小值g（1）=e+ ﹣2a，

由于存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立，

故e+ ﹣2a＜0，

即a＞ （e+ ），

令h（x）=x﹣（e﹣1）lnx﹣1，

則h′（x）=1﹣ ，

由h′（x）=1﹣ =0，解得x=e﹣1，

當0＜x＜e﹣1時，h′（x）＜0，此時函數單調遞減，

當x＞e﹣1時，h′（x）＞0，此時函數單調遞增，

∴h（x）在（0，+∞）上的最小值為h（e﹣1），

注意到h（1）=h（e）=0，

∴當x∈（1，e﹣1）（0，e﹣1）時，h（e﹣1）≤h（x）＜h（1）=0，

當x∈（e﹣1，e）（e﹣1，+∞）時，h（x）＜h（e）=0，

∴h（x）＜0，對任意的x∈（1，e）成立．

①a∈（ （e+ ），e）（1，e）時，h（a）＜0，即a﹣1＜（e﹣1）lna，從而ea﹣1＜ae﹣1，

②當a=e時，ae﹣1=ea﹣1，

③當a∈（e，+∞）（e﹣1，+∞）時，當a＞e﹣1時，h（a）＞h（e）=0，即a﹣1＞（e﹣1）lna，從而ea﹣1＞ae﹣1

【解析】（1）根據函數奇偶性的定義即可證明f（x）是R上的偶函數；（2）利用參數分離法，將不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，進行轉化求最值問題即可求實數m的取值范圍；（3）構u造函數，利用函數的單調性，最值與單調性之間的關系，分別進行討論即可得到結論．
【考點精析】本題主要考查了函數的最大(小)值與導數的相關知識點，需要掌握求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．