Question

【題目】已知a∈R，函數f（x）=x3﹣3x2+3ax﹣3a+3．
（1）求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）當x∈[0，2]時，求|f（x）|的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為f（x）=x3﹣3x2+3ax﹣3a+3，所以f′（x）=3x2﹣6x+3a，

故f′（1）=3a﹣3，又f（1）=1，所以所求的切線方程為y=（3a﹣3）x﹣3a+4；

（2）解：由于f′（x）=3（x﹣1）2+3（a﹣1），0≤x≤2．

故當a≤0時，有f′（x）≤0，此時f（x）在[0，2]上單調遞減，故

|f（x）|max=max{|f（0）|，|f（2）|}=3﹣3a．

當a≥1時，有f′（x）≥0，此時f（x）在[0，2]上單調遞增，故

|f（x）|max=max{|f（0）|，|f（2）|}=3a﹣1．

當0＜a＜1時，由3（x﹣1）2+3（a﹣1）=0，得 ， ．

所以，當x∈（0，x1）時，f′（x）＞0，函數f（x）單調遞增；

當x∈（x1，x2）時，f′（x）＜0，函數f（x）單調遞減；

當x∈（x2，2）時，f′（x）＞0，函數f（x）單調遞增．

所以函數f（x）的極大值 ，極小值 ．

故f（x1）+f（x2）=2＞0， ．

從而f（x1）＞|f（x2）|．

所以|f（x）|max=max{f（0），|f（2）|，f（x1）}．

當0＜a＜ 時，f（0）＞|f（2）|．

又 =

故 ．

當 時，|f（2）|=f（2），且f（2）≥f（0）．

又 = ．

所以當 時，f（x1）＞|f（2）|．

故 ．

當 時，f（x1）≤|f（2）|．

故f（x）max=|f（2）|=3a﹣1．

綜上所述|f（x）|max= ．

【解析】（1）求出原函數的導函數，求出函數取x=1時的導數值及f（1），由直線方程的點斜式寫出切線方程；（2）求出原函數的導函數，分a≤0，0＜a＜1，a≥1三種情況求|f（x）|的最大值．特別當0＜a＜1時，仍需要利用導數求函數在區間（0，2）上的極值，然后在根據a的范圍分析區間端點值與極值絕對值的大小．
【考點精析】關于本題考查的函數的最大(小)值與導數，需要了解求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能得出正確答案．