【題目】已知點P是橢圓E:
+y2=1上的任意一點,F1,F2是它的兩個焦點,O為坐標原點,動點Q滿足
.
(1)求動點Q的軌跡方程;
(2)若已知點A(0,-2),過點A作直線l與橢圓E相交于B,C兩點,求△OBC面積的最大值.
【答案】（1）
；（2）1
【解析】
(1)根據橢圓方程，寫出兩個焦點坐標；設出動點Q，根據向量的坐標運算，求出P與Q的關系，再根據P在橢圓上，進而求得動點Q的軌跡方程。
(2)首先根據題意可知直線的斜率必定存在，又因為過點A，可利用點斜式設出直線方程。聯立橢圓，設出B(x1,y1),C(x2,y2)的坐標；利用判別式大于0，可求得k的取值范圍；利用韋達定理表示出三角形OBC的面積，進而結合基本不等式可求得最后面積的最大值。
(1)∵a2=4,b2=1,∴c=
.
∴F1(-
,0),F2(,0).
設Q(x,y),P(x0,y0),
∵動點Q滿足
,
∴
解得x0=-
,y0=-
,
又(x0,y0)在
+y2=1上,代入橢圓方程可得
=1,∴動點Q的軌跡方程為=1.
(2)由題意可知:直線l的斜率存在,設直線l的方程為y=kx-2,B(x1,y1),C(x2,y2).
聯立
整理得(1+4k2)x2-16kx+12=0.
由Δ>0,解得k2>
.
∴x1+x2=
,x1x2=
.
S△OBC=S△OAC-S△OAB=
|OA|·(|x2|-|x1|)=|x2-x1|=
=
.
令
=t>0,化為4k2=t2+3.
∴S△OBC=
=1,
當且僅當t=2時取等號,此時k=±
.
∴(S△OBC)max=1.
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【題目】交通部門對某路段公路上行駛的汽車速度實施監控，從速度在50﹣90km/h的汽車中抽取150輛進行分析，得到數據的頻率分布直方圖如圖所示，則速度在70km/h以下的汽車有輛．
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【題目】由代數式的乘法法則類比推導向量的數量積的運算法則：
①“mn＝nm”類比得到“a·b＝b·a”；
②“(m＋n)t＝mt＋nt”類比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；
③“t≠0，mt＝ntm＝n”類比得到“c≠0，a·c＝b·ca＝b”；
④“|m·n|＝|m|·|n|”類比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；
⑤“(m·n)t＝m(n·t)”類比得到“(a·b)·c＝a(b·c)”；
⑥“
”類比得到
.以上的式子中，類比得到的結論正確的是________．
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【題目】某中學團委組織了“弘揚奧運精神，愛我中華”的知識競賽，從參加考試的學生中抽出60名學生，將其成績(均為整數)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后畫出如下部分頻率分布直方圖．觀察圖形給出的信息，回答下列問題：
(1)求第四小組的頻率，并補全這個頻率分布直方圖；
(2)估計這次考試的及格率(60分及以上為及格)和平均分；
(3)從成績是[40,50)和[90,100]的學生中選兩人，求他們在同一分數段的概率．
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【題目】已知AB為半圓O的直徑，AB=4，C為半圓上一點，過點C作半圓的切線CD，過點A作AD⊥CD于D，交半圓于點E，DE=1．
（1）求證：AC平分∠BAD；
（2）求BC的長．
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【題目】拋物線y2=2px(p>0)與直線y=x+1相切,A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2)是拋物線上兩個動點,F為拋物線的焦點,且|AF|+|BF|=8.
(1)求p的值.
(2)線段AB的垂直平分線l與x軸的交點是否為定點?若是,求出交點坐標;若不是,說明理由.
(3)求直線l的斜率的取值范圍.
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【題目】設函數f（x）＝x3＋ax2＋bx＋1的導數
滿足
，其中常數a，b∈R.
（1）求曲線y＝f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）設
，求函數g（x）的極值.
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【題目】設 
， 
為非零向量，則“存在負數λ，使得 =λ ”是 ＜0”的（ ）
A.充分而不必要條件
B.必要而不充分條件
C.充分必要條件
D.既不充分也不必要條件
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