Question

【題目】如圖,在三棱錐中,已知是正三角形, 平面為的中點, 在棱上,且.

(1)求三棱錐的體積;

(2)求證: 平面;

(3)若為中點, 在棱上,且,求證: 平面.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析.

【解析】試題分析：(1)由求解即可;(2)在底面中,取的中點,連接,由題意證明,利用面面垂直的性質定理證明平面,則可得,即可證明結論;(3) 連接, ,設,證明,則∥,即可證明結論.

試題解析：

(1)因為△是正三角形,且,

所以.

又⊥平面,

故==S△BCD.

(2)在底面中,取的中點,連接,

因,故.

因,故為的中點. 為的中點,

故∥,則

故因平面平面,

故平面平面.

△是正三角形, 為的中點,

故,故平面.

平面,故.

又,

故平面.

(3)當時,連接, .

設,因為的中點, 為中點,

故為△的重心, .

因= = ,

故,

所以∥.

又平面平面,

所以∥平面.