Question

【題目】已知圓，圓過作圓的切線，切點為（在第二象限）.

（1）求的正弦值；

（2）已知點，過點分別作兩圓切線，若切線長相等，求關系；

（3）是否存在定點，使過點有無數對相互垂直的直線滿足，且它們分別被圓、圓所截得的弦長相等？若存在，求出所有的點；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在且其坐標為或者.

【解析】

（1）連接，利用可求的正弦值.

（2）利用直線與圓相切求出過且與兩圓相切的切線長，整理后可得所求的關系式.

（3）設的斜率為且，利用、分別被圓、圓所截得的弦長相等且兩圓半徑相等得到對無窮多個恒成立，整理后可得關于的方程組，從而可求的坐標.

（1）連接，因為與相切于，故.

又，

在中，，故.

（2）因為過作兩圓的切線且切線長相等，

故，整理得到，

故的關系為.

（3）設的斜率為且，

則，，

因為它們分別被圓、圓所截得的弦長相等且兩圓半徑相等，

所以到直線的距離等于到直線的距離，

故即對無窮多個恒成立，

所以對無窮多個恒成立.

故，解得或者.

故存在且其坐標為或者.