Question

已知函數滿足：①定義在上；②當時，；③對于任意的，有.
（1）取一個對數函數，驗證它是否滿足條件②，③；
（2）對于滿足條件①，②，③的一般函數，判斷是否具有奇偶性和單調性，并加以證明.

Answer 1

(1)當時，.
又
，即.
故滿足條件②，③.
（2）在上是奇函數. 在上是減函數.

，當，時先計算出，在利用對數函數的性質，得；利用對數的運算法則，得出。
解：(1)當時，.
又
，即.
故滿足條件②，③.
（2）這樣的函數是奇函數.

在上是奇函數.
這樣的函數是減函數. 
當時，，由條件知，即.
在上是減函數.