Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，平面，，點、分別為和中點.

（1）求證：直線平面；

（2）求與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）取的中點，連接、，證明出四邊形為平行四邊形，可得出，然后利用線面平行的判定定理可證得直線平面；

（2）連接，推導出，然后以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可求得直線與平面所成角的正弦值.

（1）取的中點為，連接、，

、分別為、的中點，且

四邊形是菱形，是的中點，且，

且，四邊形為平行四邊形，，

又面，面，直線平面；

（2）連接、，

四邊形是菱形，，是等邊三角形，

為的中點，，，，

又面，以為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，

則、、、，

，，，

設平面的一個法向量為，

由，即，令，得，

設與平面所成角為，則,

因此，平面所成角的正弦值為.