Question

【題目】已知函數的最小正周期為，且其圖象的一個對稱軸為，將函數圖象上所有點的橫坐標縮小到原來的倍，再將圖象向左平移個單位長度，得到函數的圖象.

（1）求的解析式，并寫出其單調遞增區間；

（2）求函數在區間上的零點；

（3）對于任意的實數，記函數在區間上的最大值為，最小值為，求函數在區間上的最大值.

Answer 1

【答案】（1），單調遞增區間為；

（2）、、；（3）.

【解析】

（1）由函數的最小正周期求出的值，由圖象的對稱軸方程得出的值，從而可求出函數的解析式；

（2）先利用圖象變換的規律得出函數的解析式，然后在區間上解方程可得出函數的零點；

（3）對分三種情況、、分類討論，分析函數在區間上的單調性，得出和，可得出關于的表達式，再利用函數的單調性得出函數的最大值.

（1）由題意可知，，.

令，即，

即函數的圖象的對稱軸方程為.

由于函數圖象的一條對稱軸方程為，，

，，，則，因此，.

函數的單調遞增區間為；

（2）將函數的圖象上所有點的橫坐標縮小到原來的倍，得到函數.

再將所得函數的圖象向左平移個單位長度，

得到函數.

令，即，化簡得，

得或.

由于，當時，；當時，或.

因此，函數在上的零點為、、；

（3）當時，函數在上單調遞增，在上單調遞減，

所以，，由于，，

此時，；

當時，函數在上單調遞增，在上單調遞減，

所以，，由于，，

此時，；

當時，函數在區間上單調遞減，

所以，，，

此時，.

所以，.

當時，函數單調遞減，；

當時，函數單調遞增，此時；

當時，，當時，.

綜上所述：.