Question

【題目】設函數f（x）=kax﹣a﹣x（a＞0且a≠1，k∈R），f（x）是定義域為R的奇函數．
（1）求k的值
（2）已知f（1）= ，函數g（x）=a2x+a﹣2x﹣2f（x），x∈[0，1]，求g（x）的值域；
（3）在第（2）問的條件下，試問是否存在正整數λ，使得f（2x）≥λf（x）對任意x∈[﹣ ， ]恒成立？若存在，請求出所有的正整數λ；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意：函數f（x）=kax﹣a﹣x（a＞0且a≠1，k∈R），f（x）是定義域為R的奇函數．

∴f（0）=0，即k﹣1=0，解得：k=1，

故得函數f（x）=ax﹣a﹣x

（2）解：∵f（1）= ，

可得f（1）= = ，

解得：a=4或a= ，

∵a＞0，

故得：a=4．

∴函數f（x）=4x﹣4﹣x

∵函數g（x）=a2x+a﹣2x﹣2f（x），x∈[0，1]，

∴g（x）=42x+4﹣2x﹣2（4x﹣4﹣x）=（4x﹣4﹣x）2﹣2（4x﹣4﹣x）+2

令t=4x﹣4﹣x，

∵x∈[0，1]，由（1）知t=f（x）在[0，1]上為增函數，

∴t∈[0， ]．

那么：g（x）=（4x﹣4﹣x）2﹣2（4x﹣4﹣x）+2轉化為h（t）=t2﹣2t+2，

函數h（t）圖象開口向上，對稱軸t=1，

∴當 時，h（t）有最大值 ；即函數g（x）最大值為 ．

當t=1時，h（t）有最小值1，即函數g（x）最小值為1．

∴函數g（x）的值域為[1， ]

（3）解：由（2）可得f（2x）=42x﹣4﹣2x=（4x+4﹣x）（4x﹣4﹣x）

∵f（2x）≥λf（x），即為（4x+4﹣x）（4x﹣4﹣x）≥λ（4x﹣4﹣x）．

假設存在滿足條件的正整數λ，

∵x∈[﹣ ， ]，

①當x=0時，不等式恒成立，

故得：λ∈R．

②當x∈（0， ]時，4x﹣4﹣x＞0，不等式轉化為4x+4﹣x≥λ；

令u=4x，

則：1＜u≤2．

易證：Z= 在（1，2]上是增函數，其最小值為2．

故得：λ≤2．

③當x∈[﹣ ，0）時，4x﹣4﹣x＜0，不等式轉化為4x+4﹣x≤λ；

令v=4x，

則： ≤v＜1，

易證：Z′= 在[ ，1）上是減函數，其最大值為 ．

故得：λ≥ ．

綜上所得，λ不存在固定的值．

∴不存在正整數λ，使得f（2x）≥λf（x）對任意x∈[﹣ ， ]恒成立

【解析】（1）f（x）是定義域為R的奇函數．f（0）=0，可得k的值．（2）f（1）= ，求出a的值，可得f（x），函數g（x）=a2x+a﹣2x﹣2f（x），x∈[0，1]，可求g（x）的值域；（3）假設存在滿足條件的正整數λ，轉化成不等式問題求解，分類討論其正整數λ的值即可．
【考點精析】掌握函數的值域和函數的最值及其幾何意義是解答本題的根本，需要知道求函數值域的方法和求函數最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數的值域中存在一個最小（大）數，這個數就是函數的最小（大）值．因此求函數的最值與值域，其實質是相同的；利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值；利用圖象求函數的最大（小）值；利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值．