Question

【題目】定義在區間D上的函數f（x）和g（x），如果對任意x∈D，都有|f（x）﹣g（x）|≤1成立，則稱f（x）在區間D上可被g（x）替代，D稱為“替代區間”．給出以下問題：
①f（x）=x2+1在區間（﹣∞，+∞）上可被g（x）=x2+ 替代；
②如果f（x）=lnx在區間[1，e]可被g（x）=x﹣b替代，則﹣2≤b≤2；
③設f（x）=lg（ax2+x）（x∈D1），g（x）=sinx（x∈D1），則存在實數a（a≠0）及區間D1 ， D2 ， 使得f（x）在區間D1∩D2上被g（x）替代．
其中真命題是（ ）
A.①②③
B.②③
C.①
D.①②

Answer 1

【答案】C
【解析】解：在①中，∵f（x）=x2+1，g（x）=x2+ ，
∴對任意x∈（﹣∞，+∞），都有|f（x）﹣g（x）|=|1﹣ |= ≤1成立，
∴f（x）=x2+1在區間（﹣∞，+∞）上可被g（x）=x2+ 替代，故①正確；
在②中，由題意知：|f（x）﹣g（x）|=|lnx﹣x+b|≤1在x∈[1，e]上恒成立；設h（x）=lnx﹣x+b，則h′（x）= ，
∵x∈[1，e]，∴h′（x）≤0，∴h（x）在[1，e]上單調遞減，
h（1）=b﹣1，h（e）=1﹣e+b，
1﹣e+b≤h（x）≤b﹣1，又﹣1≤h（x）≤1，
∴ ，解得e﹣2≤b≤2，故②錯誤；
在③中，若a＞0，解ax2+x＞0，得x＜﹣ 或x＞0，
可取D1=（0，+∞），D2=R，∴D1∩D2=（0，+∞），
可取x=π，則|f（x）﹣g（x）|=aπ2+π，
∴不存在實數a（a＞0），使得f（x）在區間D1∩D2 上被g（x）替代；
若a＜0，解ax2+x＞0得，x＜0，或x＞﹣ ，
∴可取D1=（﹣∞，0），D2=R，∴D1∩D2=（﹣∞，0），
取x=﹣π，則|f（﹣π）﹣g（﹣π）|=|aπ2﹣π|＞1，
∴不存在實數a（a＜0），使得f（x）在區間D1∩D2 上被g（x）替代．
綜上得，不存在實數a（a≠0），使得f（x）在區間D1∩D2 上被g（x）替代，故③錯誤．
故選：C．
【考點精析】關于本題考查的函數的值，需要了解函數值的求法：①配方法(二次或四次)；②“判別式法”；③反函數法；④換元法；⑤不等式法；⑥函數的單調性法才能得出正確答案．