Question

設拋物線C₁：x²=4y的焦點為F，曲線C₂與C₁關于原點對稱．
（Ⅰ） 求曲線C₂的方程；
（Ⅱ） 曲線C₂上是否存在一點P（異于原點），過點P作C₁的兩條切線PA，PB，切點A，B，滿足|AB|是|FA|與|FB|的等差中項？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據曲線C₂與C₁關于原點對稱，可求曲線C₂的方程；
（Ⅱ）求出切線PA、PB的方程，可得直線AB的方程，代入拋物線方程，求出|AB|，利用拋物線定義，結合|FA|+|FB|=2|AB|，即可得出結論．

解答：（Ⅰ）解；因為拋物線C₁：x²=4y的焦點為F，曲線C₂與C₁關于原點對稱，所以C₂方程為x²=-4y．
（Ⅱ）解：設P（x0，-

x02

4

），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁≠x₂）．
y=

1

4

x2的導數為y′=

1

2

x，則切線PA的方程y-y1=

1

2

x1(x-x1)，
又y1=

1

4

x12，得y=

1

2

x1x-y1，
因點P在切線PA上，故-

1

4

x02=

1

2

x1x0-y1．
同理-

1

4

x02=

1

2

x2x0-y2．
所以直線-

1

4

x02=

1

2

x0x-y經過A，B兩點，
即直線AB方程為-

1

4

x02=

1

2

x0x-y，即y=

1

2

x0x+

1

4

x02，
代入x²=4y得x2-2x0x-x02=0，則x₁+x₂=2x₀，x1x2=-x02，
所以|AB|=

1+ 1 4 x02

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

(8+2x02)•x02

，
由拋物線定義得|FA|=y₁+1，|FB|=y₂+1．
所以|FA|+|FB|=(y1+y2)+2=

1

2

x0(x1+x2)+

1

2

x02+2，
由題設知，|FA|+|FB|=2|AB|，即(

3

2

x02+2)2=4x02(8+2x02)，
解得x02=

32 3 -52

23

，從而y0=

13-8 3

23

．
綜上，存在點P滿足題意，點P的坐標為（

2 23(8 3 -13)

23

，

13-8 3

23

）或（-

2 23(8 3 -13)

23

，

13-8 3

23

）．

點評：本題主要考查拋物線幾何性質，直線與拋物線的位置關系、等差中項等基礎知識，同時考查解析幾何的基本思想方法和運算求解能力，屬于中檔題．