Question

設(shè)拋物線C₁：x²＝4y的焦點為F，曲線C₂與C₁關(guān)于原點對稱．

(Ⅰ)求曲線C₂的方程；

(Ⅱ)曲線C₂上是否存在一點P(異于原點)，過點P作C₁的兩條切線PA，PB，切點A，B，滿足|AB|是|FA|與|FB|的等差中項？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)解；因為曲線與關(guān)于原點對稱，又的方程， 　　所以方程為．　5分 　　(Ⅱ)解：設(shè)，，，． 　　的導(dǎo)數(shù)為，則切線的方程， 　　又，得， 　　因點在切線上，故． 　　同理，． 　　所以直線經(jīng)過兩點， 　　即直線方程為，即， 　　代入得，則，， 　　所以， 　　由拋物線定義得，． 　　所以， 　　由題設(shè)知，，即， 　　解得，從而． 　　綜上，存在點滿足題意，點的坐標為 　　或．　15分

提示：

本題主要考查拋物線幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系、等差中項等基礎(chǔ)知識，同時考查解析幾何的基本思想方法和運算求解能力．滿分15分．