Question

如圖，設P是拋物線C₁：x²=y上的動點．過點P做圓C₂：x²+（y+3）²=1的兩條切線，交直線l：y=-3于A，B兩點．
（Ⅰ）求C₂的圓心M到拋物線 C₁準線的距離．
（Ⅱ）是否存在點P，使線段AB被拋物線C₁在點P處的切線平分？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出拋物線 C₁準線的方程，再利用點到直線距離的求法求出C₂的圓心M到拋物線 C₁準線的距離即可．
（Ⅱ）先設拋物線 C₁在點P處的切線交直線l于點D，線段AB被拋物線C₁在點P處的切線平分即為x_A+x_B=2X_D．設出過點P做圓C₂x²+（y+3）²=1的兩條切線PA，PB，與直線y=-3聯立，分別求出A，B，D三點的橫坐標，代入x_A+x_B=2X_D．看是否能解出點P，即可判斷出是否存在點P，使線段AB被拋物線C₁在點P處的切線平分．

解答：解：（Ⅰ）因為拋物線 C₁準線的方程為：y=-

1

4

，
所以圓心M到拋物線 C₁準線的距離為：|-

1

4

-（-3）|=

11

4

．
（Ⅱ）設點P的坐標為（x₀，x₀²），拋物線 C₁在點P處的切線交直線l與點D，
因為：y=x²，所以：y′=2x；
再設A，B，D的橫坐標分別為x_A，x_B，x_D，
∴過點P（x₀，x₀²）的拋物線 C₁的切線的斜率k=2x₀．
過點P（x₀，x₀²）的拋物線 C₁的切線方程為：y-x₀²=2x₀（x-x₀）    ①
當 x₀=1時，過點P（1，1）且與圓C₂相切的切線PA方程為：y-1=

15

8

（x-1）．可得x_A=-

17

15

，x_B=1，x_D=-1，x_A+x_B≠2x_D．
當x₀=-1時，過點P（-1，1）且與圓C₂的相切的切線PB的方程為：y-1=-

15

8

（x+1）．可得x_A=-1，x_B=

17

15

，x_D=1，x_A+x_B≠2x_D．
所以x₀²-1≠0．設切線PA，PB的斜率為k₁，k₂，
則：PA：y-x₀²=k₁（x-x₀）   ②
PB：y-x₀²=k₂（x-x₀）．③
將y=-3分別代入①，②，③得xD=

x02-3

2x0

（x₀≠0）；xA=x0-

x02+3

k1

；xB=x0-

x02+3

k2

（k₁，k₂≠0）
從而xA+xB=2x0-(x02+3)(

1

k1

+

1

k2

)．
又

|-x0k1+x02+3|

k12+1

=1，
即（x₀²-1）k₁²-2（x₀²+3）x₀k₁+（x₀²+3）²-1=0，
同理（x₀²-1）k₂²-2（x₀²+3）x₀k₂+（x₀²+3）²-1=0，
所以k₁，k₂是方程（x₀²-1）k²-2（x₀²+3）x₀k+（x₀²+3）²-1=0的兩個不等的根，
從而k₁+k₂=

2(3+x0)2x0

x02-1

，k₁•k₂=

(3+x02)2-1

x02-1

，
因為x_A+x_B=2X_D．．
所以2x₀-（3+x₀²）（

1

k1

+

1

k2

）=

x02-3

x0

，即

1

k1

+

1

k2

=

1

x0

．
從而

2(3+x02)x0

(x02+3)2-1

=

1

x0

，
進而得x₀⁴=8，x0=±

4	8

．
綜上所述，存在點P滿足題意，點P的坐標為（±

4	8

，2

2

）．

點評：本題是對橢圓與拋物線，以及直線與橢圓和拋物線位置關系的綜合考查．在圓錐曲線的三種常見曲線中，拋物線是最容易的，而雙曲線是最復雜的，所以一般出大題時，要么是單獨的橢圓與直線，要么是橢圓與拋物線，直線相結合．這一類型題目，是大題中比較有難度的題．