Question

設(shè)拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是2．
（Ⅰ）求此拋物線方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)A，B在此拋物線上，點(diǎn)F為此拋物線的焦點(diǎn)，且，若λ∈[4，9]，求直線AB在y軸上截距的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離求得p，則拋物線方程可得．
（Ⅱ）設(shè)出直線AB的方程與拋物線方程聯(lián)立消去y，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₁，y₁）根據(jù)韋達(dá)定理可表示出x₁+x₂和x₁•x₂，根據(jù)，進(jìn)而求得x₂=법x₁，進(jìn)而根據(jù)x₁•x₂=1，消去x₂，求得x₁和x₂，代入x₁+x₂中，求得λ和k的關(guān)系式，根據(jù)在[4，9]上遞增，進(jìn)而求得y的范圍進(jìn)而求得k的范圍，進(jìn)而求得直線在x軸上的截距的范圍可得．
解答：解：（Ⅰ）因?yàn)閽佄锞�C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離p=2
所以此拋物線方程為y²=4x
（Ⅱ）由題意，直線AB的斜率存在．F（1，0），設(shè)直線AB的方程為y=k（x-1）
由消y，整理得，k²x²-（2k²+4）x+k²=0
△=（2k²+4）²-4k⁴=16k²+16＞0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₁，y₁）則，x₁•x₂=1
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023213900276928056/SYS201310232139002769280021_DA/4.png">，所以（x₂-1，y₂）=λ（1-x₁，-y₁），于是
由y₂=-λy₁，得y₂²=λ²y₁²⇒4x₂=법4x₁⇒x₂=법x₁，
又x₁•x₂=1，
消x₂得법x₁²=1，
因?yàn)閤₁＞0，所以，從而，x₂=λ．
代入得，，
令，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023213900276928056/SYS201310232139002769280021_DA/10.png">在[4，9]上遞增，
所以，即，
于是，，或
所以直線AB在y軸上截距的取值范圍為：．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與拋物線的關(guān)系，向量的計(jì)算等．考查了學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)靈活解決問題的能力．