Question

【題目】如圖，在三棱錐中，，，，且，，，，為上一點，.

（1）求證：平面；

（2）求異面直線和所成角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)見解析（2）

【解析】

（1）要證明DE∥平面PAB，只需證DE與平面PAB內的一條直線平行即可．（2）由（1）知DE∥AP．則異面直線AB和DE所成角即AB和AP所成的角，由余弦定理計算即可．

（1）證明：∵AD=1，CD=2，

∴在中，∴DE∥AP．

∵AP平面PAB，DE平面PAB，

∴DE∥平面PAB；

（2）解：由（1）知DE∥AP．則異面直線AB和DE所成角即AB和AP所成的角．∵PD⊥AC，AD=1，PD=2，在中，AP2=AD2+PD2=12+22=5．

∵BD⊥AC，AD=1，BD=1，在中，AB2=AD2+BD2=12+12=2．

∵PD⊥BD，PD=2，在中，PB2=PD2+BD2=22+12=5．

在中，cos∠PAB= ,

∴異面直線和所成角的余弦值為.