Question

【題目】已知函數，其中為自然對數的底數.

（1）若，求的單調區間；

（2）當時，記的最小值為，求證：.

Answer 1

【答案】(1) 函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為．(2) 見解析.

【解析】

（Ⅰ）對函數求導，代入參數a的值，即可得到函數的單調區間；（Ⅱ）通過對函數求導研究函數的單調性得到，，由得：

，構造函數，對函數求導可得到函數的最值.

（Ⅰ）的定義域是，

.

當時，，

因為函數，單調遞增，且，

所以：當時，，

當時，，

所以：函數的單調遞減區間為：，單調遞增區間為：；

（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）得的定義域是，

，

令，則，

在上單調遞增，

因為，

所以，，

故存在，使得，

當時，，故，單調遞減；

當時，，故，單調遞增；

故時，取得最小值，

即，

由得：

，

令，，則

，

當時，，單調遞增，

當時，，單調遞減，

故，即時，取最大值1，

故.