Question

【題目】已知二次函數(shù)有兩個零點-3和1，且有最小值-4.

（1）求的解析式；

（2）寫出函數(shù)單調(diào)區(qū)間；

（3）令，若，證明：在上有唯一零點.

Answer 1

【答案】（1）;（2）的單調(diào)遞減區(qū)間是,單調(diào)遞增區(qū)間是;（3）詳見解析.

【解析】

（1）根據(jù)二次函數(shù)有兩個零點-3和1,設(shè)出二次函數(shù),頂點坐標代入函數(shù)式,即可求出解析式;

（2）根據(jù)二次函數(shù)的開口方向和對稱軸,求出單調(diào)區(qū)間;

（3）由,結(jié)合,判斷在單調(diào)性,再由零點存在性原理即可得證.

（1）依題意可得拋物線的頂點坐標為,設(shè)

代入解析式得，

（2）由（1）得的對稱軸方程為,開口向上,

所以的單調(diào)遞減區(qū)間是,單調(diào)遞增區(qū)間是.

（3）,其對稱軸方程為,

所以在單調(diào)遞遞增,,

在沒有零點; 在單調(diào)遞減，且,

且拋物線開口向下,在上有唯一零點,

所以在上有唯一零點.