Question

【題目】如圖，已知橢圓的左頂點，且點在橢圓上， 、分別是橢圓的左、右焦點。過點作斜率為的直線交橢圓于另一點，直線交橢圓于點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若為等腰三角形，求點的坐標；

（3）若，求的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】試題分析：（1）依據題設條件建立方程組進行求解；（2）依據題設條件建立直線的方程，然后聯立方程組求解；（3）先建立直線的方程，再與橢圓方程聯立，求出點的坐標；然后建立的方程，與的方程聯立，求出點的坐標，借助點在橢圓上建立方程進行求解：

解：（1）由題意得 ，解得

橢圓的標準方程：

（2） 為等腰三角形，且 ， 直線的方程，由得或

（3）設直線的方程，

由得

若則， ， 與不垂直；

， ， ，

直線的方程，直線的方程：

由解得

又點在橢圓上得，即，即

，