Question

【題目】已知函數f（x）=2ex﹣ax﹣2（x∈R，a∈R）．
（1）當a=1時，求曲線y=f（x）在x=1處的切線方程；
（2）當x≥0時，若不等式f（x）≥0恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=1時，f（x）=2ex﹣x﹣2，f′（x）=2ex﹣1，f′（1）=2e﹣1，

即曲線y=f（x）在x=1處的切線的斜率k=2e﹣1，又f（1）=2e﹣3，

故所求的切線方程是y=（2e﹣1）x﹣2

（2）解：當x≥0時，若不等式f（x）≥0恒成立[f（x）]min≥0．

易知f′（x）=2ex﹣a．

①若a≤0，則f′（x）＞0恒成立，f（x）在R上單調遞增；

又f（0）=0，∴當x∈[0，+∞）時，f（x）≥f（0）=0，符合題意．

②若 a＞0，由f′（x）=0，解得x=ln ．

則當 時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減；

當 時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增．

∴x= 時，函數f（x）取得最小值．

當 ，即0＜a≤2時，當x∈[0，+∞）時，f（x）≥f（0）=0，符合題意．

當 ，即a＞2時，當 時，f（x）單調遞增，f（x）＜f（0）=0，不符合題意．

綜上，實數a的取值范圍是（﹣∞，2]

【解析】（1）利用導數的幾何意義可得切線的斜率，再利用點斜式即可得出切線方程．（2）當x≥0時，若不等式f（x）≥0恒成立[f（x）]min≥0．f′（x）=2ex﹣a．對a分類討論：若a≤0，利用單調性即可得出是否滿足條件．②若 a＞0，由f′（x）=0，解得x=ln ．即可得出單調性，對 分類討論即可得出．
【考點精析】本題主要考查了函數的最大(小)值與導數的相關知識點，需要掌握求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．