Question

（本題滿分12分）設數列的前項和為，滿足，且。
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求數列的通項公式；
（Ⅲ）設數列的前項和為，且，證明：對一切正整數， 都有：

Answer 1

（Ⅰ），；（Ⅱ）
（Ⅲ）利用，推出。

試題分析：（Ⅰ）∵
∴       
   …………………………………4分
（Ⅱ）由得
檢驗知，滿足
∴
變形可得
∴數列是以1為首項，1為公差的等差 
解得…………………………………………………7分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知
代入得=……………8分
∵
∴
∴
∴
即
∴
  ∴…………………………………………………12分
點評：典型題，本題首先由的故選，確定數列的通項公式是關鍵。不等式證明中運用了“放縮法”，本題較難。