Question

【題目】已知函數， 為實常數．

(Ⅰ)設，當時，求函數的單調區間；

(Ⅱ)當時，直線、與函數、的圖象一共有四個不同的交點，且以此四點為頂點的四邊形恰為平行四邊形．

求證： ．

Answer 1

【答案】(1)單調遞增區間為，無單調遞減區間；(2)證明見解析．

【解析】試題分析：（Ⅰ）求函數的導數 ，因為 ，所以顯然 得到函數的單調區間；（Ⅱ）一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形，即 ，所以分析函數 ，根據函數的二階導數可判斷函數在為減函數，在為增函數，若 ，即一個根小于1，一個根大于1，即得結果.

試題解析：(Ⅰ) ，其定義域為

而，

當時， ，

故F(x)的單調遞增區間為，無單調遞減區間．

(Ⅱ)因為直線與平行，

故該四邊形為平行四邊形等價于且 ．

當時， ，

則．令

則 ，

故在上單調遞增；

而，

故時單調遞減； 時單調遞增；

而，

故或0 < n <1< m，

所以．