Question

【題目】如圖，以為頂點的六面體中， 和均為等邊三角形，且平面平面， 平面， ， .

（1）求證： 平面；

（2）求此六面體的體積.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2) 2．

【解析】試題分析：（Ⅰ）作 ,交于，連結(jié) ，根據(jù)條件證明四邊形是平行四邊形；（Ⅱ）將此六面體分成兩個三棱錐的體積和 ，根據(jù)（Ⅰ）的結(jié)果可知點到平面的距離是，點到平面的距離是，這樣求體積和.

試題解析：(Ⅰ)作，交于，連結(jié)．

因為平面平面，

所以平面，

又因為平面，

從而．

因為是邊長為2的等邊三角形，

所以，

因此，

于是四邊形為平行四邊形，

所以，

因此平面．

(Ⅱ) 因為是等邊三角形，

所以是中點，

而是等邊三角形，

因此，

由平面，知，

從而平面，

又因為，

所以平面，

因此四面體的體積為，

四面體的體積為，

而六面體的體積=四面體的體積+四面體的體積

故所求六面體的體積為2