Question

【題目】在四棱柱中，，且，平面，.

（1）證明：.

（2）求與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析； （2）.

【解析】

（1）根據三角形全等證明AC⊥BD，結合可得AC⊥平面，故而；（2）以，的交點為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，計算平面的法向量，利用線面角的向量公式求解即可

（1）證明：∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA，

又∠BAD＝∠BCD，∴∠BAC＝∠BCA，∴AB＝AC，

∴△ABD≌△CBD，∴∠ADB＝∠CDB，

∴△AOD≌△COD，∴∠AOD＝∠COD＝90°，

∴AC⊥BD，

又因為平面，所以，又所以平面，

因為平面，所以.

（2）以，的交點為原點，過O作平行于的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，由（1）及，知，，，，

所以，，.

設平面的法向量為，由，得，

所以，令，得.

設與平面所成的角為，則 .